Diracova notace a energetická reprezentace
Souhrn
Přednáška se zaměřuje na Diracovu notaci v kvantové mechanice, která je klíčová pro matematický popis kvantových stavů. Základním konceptem je kvantová amplituda - komplexní číslo, jehož kvadrát modulu určuje pravděpodobnost výsledku měření. Přednášející představuje “ket” vektory (označované |ψ⟩) reprezentující dynamický stav kvantového systému a “bra” vektory (označované ⟨f|) reprezentující lineární funkce na stavech, které extrahují amplitudy. Vysvětluje, jak tyto objekty tvoří vektorové prostory, jak je můžeme sčítat, násobit komplexními čísly a vzájemně kombinovat.
V druhé části přednášky jsou představeny dvě konkrétní reprezentace - energetická reprezentace, kde je kvantový stav vyjádřen jako lineární kombinace stavů s dobře definovanou energií, a spinová reprezentace pro částice se spinem 1/2. U spinové reprezentace je odvozena formule pro výpočet amplitudy měření spinu v libovolném směru, když je znám stav částice (např. když víme, že spin je orientován v kladném směru osy z). Tato formule ilustruje neintuitivní kvantové chování - například je-li spin orientován ve směru osy z, pravděpodobnost naměření spinu ve směru osy x je přesně 1/2.
Přepis
Úvod ke kvantovým amplitudám
Včera jsme představili hlavní myšlenku kvantové amplitudy - komplexního čísla, jehož kvadrát modulu vám dává pravděpodobnost výsledku nějakého experimentu nebo měření. Představili jsme koncept úplné sady kvantových amplitud, takže když znáte tyto amplitudy v úplné sadě, můžete vypočítat amplitudy pro jakýkoliv experiment, který byste mohli vymyslet, jakékoliv měření, které byste mohli provést.
Zdůraznil jsem, že kvantová mechanika se vlastně zabývá převodem amplitud z nějaké úplné sady na výpočet jiných amplitud pro výsledky jiných experimentů. Existuje zde velmi silná analogie mezi naší znalostí dynamického stavu systému, která je zapouzdřena v hodnotách této úplné sady amplitud - tedy v nějaké sadě komplexních čísel - a způsobem, jakým identifikujeme body v prostoru a souřadnice vektorů.
Analogie s vektorovým prostorem
Můžeme používat mnoho různých souřadnicových systémů a mnoho sad čísel k identifikaci jednoho a téhož bodu v prostoru. Body v prostoru jsou primitivní pojem a sady tří čísel, které používáme k jejich identifikaci, závisí na našich preferencích. Existuje mnoho souřadnicových systémů, které můžeme použít - různé kartézské souřadnicové systémy, polární souřadnice atd., a souřadnice, které používáme k identifikaci daného bodu, závisí na problému, který se snažíme vyřešit.
Je užitečné mít koncept polohového vektoru R, který chápeme jako X, Y, Z - sadu tří čísel. Ale je to víc než jen sada tří čísel. Je to vlastně ekvivalentní třída sad tří čísel, protože každý jiný souřadnicový systém by měl jinou sadu tří čísel pro stejný bod.
Diracova “ket” notace
Dirac zavedl koncept “ketu” psi. Tento symbol efektivně charakterizuje dynamický stav našeho systému. Můžete si to představit jako symbolický zápis a₁, a₂, a₃, a₄, … Nevíme, kolik kvantových amplitud potřebujeme k charakterizaci našeho systému.
Síla této notace je podobná síle, kterou získáváme z polohových vektorů. Pokud zapíšeme všechny tyto věci, zavazujeme se k určitému souřadnicovému systému, k určité sadě úplných amplitud. Zatímco to, co skutečně chceme, je soustředit se na dynamický stav našeho systému. Můžeme považovat za vhodné používat amplitudy pro různé možné energie, nebo můžeme považovat za vhodné používat amplitudy pro různá možná měření hybnosti nebo polohy.
Operace s “ket” vektory
Pokud máme dva “kety”, a jeden představuje dynamický stav systému definovaný čísly a₁, a₂, a₃ atd., a druhý je definován čísly b₁, b₂, b₃ atd., pak víme, jak sčítat amplitudy. Definujeme proto objekt |ψ⟩ + |φ⟩ = |a₁+b₁, a₂+b₂, …⟩.
Takže když sečtete dva “kety”, říkáte tím, že dynamický stav systému je popsán amplitudami, kde první amplituda je součtem amplitud z jednotlivých částí, druhá amplituda je součtem druhých amplitud atd. - podobně jako když sčítáte dva vektory, sčítáte x-ové složky, y-ové složky a z-ové složky.
Také víme, jak násobit “kety”. Můžeme definovat nový “ket” |ψ’⟩ = α|ψ⟩, což je komplexní číslo násobící původní “ket”. Znamená to dynamický stav systému, který by měl amplitudy α-krát původní amplitudy v každé pozici. Takže víme, jak tyto věci sčítat a jak je násobit komplexními čísly. Z toho vyplývá, že “kety” tvoří vektorový prostor.
“Bra” vektory a adjungovaný prostor
Zabýváme se lineárními komplexně hodnotnými funkcemi na “ketech”. Takové funkce na vektorech budou představovat amplitudy pro nějakou událost nebo měření.
Místo tradiční notace f(|ψ⟩) používáme notaci ⟨f|ψ⟩. Tato notace znamená funkci f vyhodnocenou na |ψ⟩, což je komplexní číslo, které bude interpretováno jako amplituda pro něco. Funkci f nazýváme “bra” vektorem.
Máme tedy “kety”, které definují dynamické stavy našeho systému, a “bra” vektory, což jsou funkce na dynamických stavech, které extrahují důležité amplitudy. “Kety” tvoří vektorový prostor, a “bra” vektory také tvoří vektorový prostor - tzv. adjungovaný prostor.
Vztah mezi “bra” a “ket” vektory
Pokud máme bázi “ketů” |i⟩, pro každý z nich definujeme “bra” ⟨j| jako objekt (funkci) takovou, že ⟨j|i⟩ = δᵢⱼ (Kroneckerovo delta). To znamená, že tato funkce dává hodnotu 0, pokud označení j není rovno označení i, a hodnotu 1, pokud j je rovno i.
Když vyjádříme stav |ψ⟩ jako lineární kombinaci bázových stavů |ψ⟩ = Σ aᵢ|i⟩, pak definujeme přidruženou funkci (bra vektor) jako ⟨ψ| = Σ aᵢ⟨i|, kde aᵢ je komplexně sdružené k aᵢ.
Důležitý výsledek je, že ⟨ψ|ψ⟩ = Σ |aᵢ|², což je suma kvadrátů modulů amplitud. To by mělo být rovno 1, protože pravděpodobnosti by se měly sčítat na 1. Proto správná normalizace je, že stav vynásoben svým “bra” vektorem by měl dávat 1.
Energetická reprezentace
V určitých případech, například když máme částici pohybující se v jedné dimenzi uvězněnou v potenciálové jámě, je možné charakterizovat dynamický stav systému jednoduše uvedením amplitudy pro měření možných hodnot energie.
V tomto případě má energie diskrétní spektrum. Existuje pravděpodobnost, že při měření energie najdeme hodnotu Eᵢ, což je |aᵢ|². Úplná dynamická informace je poskytnuta znalostí nejen těchto pravděpodobností, ale skutečných amplitud.
Když napíšeme |ψ⟩ = Σ aᵢ|i⟩, zjistíme, že stav |i⟩ odpovídá stavu s definitivní energií Eᵢ. Proto lepší zápis je |ψ⟩ = Σ aᵢ|Eᵢ⟩.
Tato energetická reprezentace hraje v kvantové mechanice nesmírně důležitou roli, protože nám umožňuje řešit časovou evoluci. Paradoxně je to také velmi abstraktní reprezentace, protože žádný skutečný fyzikální systém nikdy nemá přesně definovanou energii - tyto kvantové stavy jsou tedy ve skutečném světě nerealizovatelné.
Spin 1/2
Elementární částice jsou jako malé gyroskopy, u nichž se rychlost otáčení nikdy nemění, ale směr, ve kterém se spin orientuje, se mění. Můžeme znát s jistotou výsledek měření spinu v jednom konkrétním směru, například komponenty spinu rovnoběžné s osou z, ale nemůžeme znát směr, ve kterém se věc skutečně točí.
Pro spin 1/2 měříme hodnoty ±1/2 (bez ℏ pro jednoduchost). Máme dvě báze: |+⟩ a |-⟩, což jsou stavy, kdy jsme si jisti, že měření spinu podél osy z dá hodnotu +1/2 nebo -1/2. Libovolný stav částice se spinem 1/2 můžeme zapsat jako |ψ⟩ = a₋|-⟩ + a₊|+⟩.
Amplitudy pro měření spinu v různých směrech
Pokud máme jednotkový vektor n ve směru daném úhly θ a φ, pak stav |n+⟩ (stav s definitivním spinem +1/2 ve směru n) můžeme vyjádřit jako:
|n+⟩ = sin(θ/2)e^(iφ/2)|-⟩ + cos(θ/2)e^(-iφ/2)|+⟩
A podobně pro |n-⟩ (stav s definitivním spinem -1/2 ve směru n):
|n-⟩ = cos(θ/2)e^(iφ/2)|-⟩ - sin(θ/2)e^(-iφ/2)|+⟩
Pokud jsme právě změřili spin ve směru z a získali výsledek +1/2, pak je stav elektronu |+⟩. Amplituda pro měření spinu +1/2 ve směru n je pak ⟨n+|+⟩ = cos(θ/2)e^(iφ/2), což znamená, že pravděpodobnost je cos²(θ/2).
To dává smysl: Když θ=0 (n je ve směru osy z), pravděpodobnost je 1. Když θ=π (n je ve směru -z), pravděpodobnost je 0.
Když θ=π/2 a φ=0 (n je ve směru osy x), amplituda je 1/√2, takže pravděpodobnost je 1/2. Podobně pro směr osy y (θ=π/2, φ=π/2) je pravděpodobnost také 1/2. Toto ukazuje symetrii a neurčitost v kvantové mechanice - znalost, že spin je orientován ve směru osy z, nám nedává žádnou informaci o jeho orientaci v osách x nebo y.
Kritické zhodnocení
Přednáška poskytuje solidní úvod do Diracovy “bra-ket” notace, která je základním matematickým nástrojem moderní kvantové mechaniky. Síla této notace spočívá v její schopnosti elegantně pracovat s abstraktními Hilbertovými prostory bez potřeby explicitní reprezentace, což přednáška dobře vystihuje.
Koncept kvantových amplitud je v přednášce představen způsobem, který zdůrazňuje jejich roli jako základních objektů kvantové teorie, což odpovídá současnému chápání kvantové mechaniky. Jak poznamenává Weinberg ve své knize “Lectures on Quantum Mechanics” (2013), pravděpodobnostní interpretace kvantových amplitud je skutečně centrálním bodem kvantové teorie, ačkoliv její filozofické důsledky zůstávají předmětem diskuze.
Analogie mezi kvantovými stavy a vektory v prostoru je pedagogicky užitečná, ale má i své limity. Griffiths ve své učebnici “Introduction to Quantum Mechanics” (2017) upozorňuje, že tato analogie může studenty vést k představě kvantových stavů jako “šipek” v běžném prostoru, zatímco ve skutečnosti existují v abstraktním Hilbertově prostoru.
Zajímavým aspektem přednášky je poznámka o energetické reprezentaci a tvrzení, že “žádný fyzikální systém nikdy nemá přesně definovanou energii.” Toto tvrzení odkazuje na princip neurčitosti energie-čas, který je důsledkem kvantové teorie. Cohen-Tannoudji ve své komprehensivní učebnici “Quantum Mechanics” detailněji vysvětluje, že stavy s přesně definovanou energií jsou vlastně stacionární stavy, které se nevyvíjejí v čase - což je důvod, proč jsou nerealizovatelné v reálném světě, kde všechny systémy podléhají interakci s okolím.
Část o spinu 1/2 je správná, ale mohla by být doplněna o diskusi Sternova-Gerlachova experimentu, který poskytuje empirický základ pro diskutované vlastnosti spinu. Jak uvádí Sakurai v “Modern Quantum Mechanics” (2017), právě tento experiment historicky vedl k objevu kvantování spinu a jeho neintuitivních vlastností.
Pro hlubší pochopení formalismu kvantové mechaniky by studenti měli konzultovat standardní učebnice jako:
- “Principles of Quantum Mechanics” od R. Shankar
- “Quantum Mechanics: Concepts and Applications” od N. Zettiliho
- “Quantum Computation and Quantum Information” od Nielsena a Chuanga (pro aplikace v kvantové informatice)
Pro filozofické aspekty kvantové teorie, včetně problému měření a interpretací, je cenným zdrojem “Philosophy of Physics: Quantum Theory” od Tima Maudlina, který kriticky zkoumá různé interpretace kvantové mechaniky a jejich důsledky.
