Dokážeme skutečně porozumět počítáním?

Souhrn

Přednáška začíná u otázky, zda je počítání dostatečné pro porozumění světu. Duminil-Copin nejprve poukazuje na to, že schopnost počítat je do jisté míry vrozená, ale lidé se ji učí rozvíjet a používat pro větší čísla. Rozdíl mezi lidmi a zvířaty je právě ve schopnosti porovnávat větší čísla, například 11 a 12. Upozorňuje rovněž na rozdíl mezi “mírnou” a “divokou” náhodou, kde mírná náhoda umožňuje předvídat (např. průměrnou výšku populace), zatímco divoká náhoda je nepředvídatelná a řízená extrémními událostmi (např. finanční krize, epidemie).

Dále Duminil-Copin představuje koncept “divoké náhody” v kontexu polymerů. Polymery, jako je DNA, modeluje jako náhodné, sebevyhýbavé cesty na mřížce. Otázka zní, jak taková dlouhá cesta vypadá. Ukazuje, že pokud se ignoruje vlastnost sebevyhýbavosti, cesta se vzdaluje zhruba jako druhá odmocnina z délky. Nicméně, pokud se sebevyhýbavost bere v úvahu, předpověď (zatím nedokázaná) je, že vzdálenost roste jako délka na tři čtvrtiny. Tuto předpověď učinil Paul Fleury a je zajímavá tím, že Fleury k ní došel na základě dvou chybných předpokladů. Přednáška končí diskusí nad počtem možných cest dané délky.

Přepis

Děkuji vám, že jste se ke mně dnes odpoledne připojili. Jsem matematik a také Francouz. Nejsem si jistý, která z těchto dvou skutečností bude na konci přednášky přesvědčivější, ale dozvíte se něco málo o matematice a hodně o francouzském přízvuku. Chtěl bych položit otázku: Může člověk skutečně porozumět počítáním? A slibuji vám, že na tuto otázku během této přednášky neodpovím.

Vrozené vnímání čísel

Proč se ptám na tuto otázku? Protože jedna z nejčastějších otázek nebo komentářů, které dostávám, když přednáším na veřejnosti, je, že za mnou lidé přijdou a řeknou: “Ó, byl jsem v matematice hrozný, o matematice nic nevím.” Ne že bych tuto odpověď nesnášel, ale vždycky chci odpovědět totéž.

Začněme otázkou: Tříleté dítě, do kolika umí počítat? Tedy ne jen odříkávat čísla, ale skutečně mít pojem čísla.

Většina lidí odpovídá kolem deseti, ale ve skutečnosti má tříleté dítě v podstatě pojem čísla jen do tří. Moje dcera sice uměla počítat do 10, ale byl to jen sled slov. Nemá skutečnou představu o tom, co je sedm.

Co je fascinující - děti začínají chápat čísla mezi třemi a pěti lety. Ale co batole nebo novorozenec? Do kolika umí počítat? Překvapivě, novorozenci mají základní pojem čísel zhruba do tří.

Existují velmi zajímavé experimenty, kde výzkumníci dají předměty za závěs a pak buď odhalí správný počet předmětů (což dítě nepřekvapí), nebo některé odeberou či přidají - a dítě projeví překvapení. Toto lze pozorovat i u dětí, kterým jsou teprve dvě nebo tři hodiny.

V podstatě se tedy ve třech letech děti nenaučí počítat o mnoho lépe, než když se narodily. I zvířata mají pojem čísla, ale je stejně omezený jako u dětí po narození. Je to něco vrozeného, ale je to pouze přibližný pojem.

Co dělá rozdíl mezi člověkem a zvířaty je to, že díky našemu vzdělání se dostaneme k pojmu větších čísel. Jsme schopni porovnat 11 a 12 - víme, že 12 je větší než 11. Zvíře tuto schopnost rozlišovat mezi takovými čísly nemá.

Čísla jsou tedy něco, co známe, je to schopnost, kterou se učíme. Takže nikdo není špatný v matematice, protože většina lidí umí počítat.

Tato schopnost není nijak stará - v podstatě se shoduje se stářím psaní. Existují kosti Izhengo, které se našly v Kongu, jsou staré 20 000 let a jsou jedním z prvních důkazů počítání lidmi. Čísla a počítání je schopnost, se kterou se nerodíme. Učíme se počítat nad rámec těchto velmi jednoduchých 1, 2, 3, možná až do 5.

Je matematik jen někdo, kdo umí dobře počítat?

Pokud vycházíme z toho, že umíme počítat, pak existuje druhá otázka: “Dobře, umím počítat, ale umím počítat špatně. A vy jste v počítání skvělí - umíte počítat do velmi velkých čísel nebo násobit velká čísla.”

Chci ukázat, že matematici jsou něco víc než jen lidé, kteří umí dobře násobit nebo počítat. Dokonce bych řekl, že jsem dobrý matematik právě proto, že jsem v počítání hrozný!

Pokusím se vám vylíčit, co se může dít v hlavě matematika - začneme možná problémem s počítáním, ale ukážu, jak je to jen začátek příběhu, a že ve skutečnosti nás v matematice zajímá to, co je za tím. Jako pravděpodobnostní matematik použiji náhodnost, abych svůj příběh vyprávěl.

Dva druhy náhodnosti

Nejprve definujme, co je náhodnost. Náhodná věc je něco, co nemůžeme předvídat. Existují různé druhy náhodnosti, ale jedno rozlišení, které se mi velmi líbí, je mezi “mírnou náhodností” a “divokou náhodností”.

Mírná náhodnost

Mírná náhodnost je typicky následující: Představte si, že chci spočítat průměrnou výšku lidí v této místnosti. Mohu vzít vzorek několika lidí, změřit jejich průměrnou výšku, a to mi dá velmi dobrý odhad průměrné výšky celé místnosti, celého Oxfordu, nebo dokonce celého Spojeného království.

I kdyby do místnosti vešla nejvyšší osoba nebo nejmenší dítě, příliš by to nezměnilo celkový průměr. Jeden individuální případ náhodnosti zde nemá velký vliv na výsledek. S mírnou náhodností se setkáváme často, třeba když odhadujeme výsledky voleb - můžeme použít malý reprezentativní vzorek k předpovědi celkového výsledku.

Divoká náhodnost

Ale existuje i jiný druh náhodnosti. Představte si, že místo průměrné výšky zkoumáme průměrné bohatství v místnosti. To bude mnohem složitější, protože pokud do místnosti vstoupí Elon Musk, celkové bohatství se změní o celé řády. Jediný člověk může totálně změnit výsledek - je to jako by výsledek byl řízen mimořádnými událostmi.

Tohoto si všiml Benoit Mandelbrot, otec fraktálů, ve světě financí. Finance jsou oblastí, kde se mírná náhodnost používá nejvíce, ale on poukázal na to, že existují jevy jako krachy, které se ve skutečnosti podobají divoké náhodnosti - kdy se najednou něco zhroutí a věci se změní mnohem rychleji, než by měly u mírné náhodnosti.

Pro divokou náhodnost nefungují běžné matematické nástroje jako normální rozdělení a standardní odchylka. Tuto divokou náhodnost pozorujeme například u epidemií, lesních požárů, zemětřesení - nemůžeme předvídat, kdy přesně nastanou, a když nastanou, změní situaci zásadním způsobem.

Sebevyhýbavé cesty: Matematický model polymerů

Nyní vám ukážu příklad něčeho, co vykazuje divokou náhodnost. Není na první pohled zřejmé, proč je to divoká náhodnost, ale postupně to vysvětlím.

Tento příklad začíná problémem s počítáním, ale jde daleko za něj. Chtěl bych matematicky pochopit, co se děje ve velmi dlouhých řetězcích, jako jsou proteiny nebo molekuly DNA, které jsou tvořeny mnoha komponenty.

Udělám matematickou karikaturu toho, co se děje v polymeru. Nejjednodušší model? Představme si polymer jako sebevyhýbavou cestu na mřížce.

Začněme čtvercovou mřížkou (jako dlaždice na podlaze v kuchyni). Začnu v jednom průsečíku a kreslím cestu po hranách čtverců, krok za krokem. Každý krok této cesty představuje jeden monomer, jeden prvek polymeru.

Navíc požaduji, aby cesta byla “sebevyhýbavá”, což znamená, že se nikdy nevrátí na stejné místo. Tím zajistím, že každý monomer má své vlastní místo, stejně jako v reálné molekule nemohou být dvě části na stejném místě.

Jak vypadá dlouhá sebevyhýbavá cesta?

První otázka zní: Jak taková dlouhá cesta vypadá? Je to spíše přímka? Nebo se možná stočí do sebe?

Existuje jeden případ, kdy na to můžeme snadno odpovědět - když zapomeneme na vlastnost sebevyhýbavosti. Pokud cestu tvoříme tak, že v každém kroku náhodně vybereme jeden ze čtyř možných směrů, dostaneme tzv. náhodnou chůzi.

U takové náhodné chůze existuje slavný výsledek: po N krocích je typická vzdálenost od počátku přibližně N na 1/2. Tedy po 1000 krocích jsme vzdáleni zhruba 1000^(1/2) = přibližně 31,6 jednotek. Po miliardě kroků by to bylo miliarda na 1/2 = milion jednotek.

Jaká je vzdálenost u sebevyhýbavé cesty?

Přirozená otázka zní: Pokud musíme dodržet podmínku sebevyhýbavosti, bude typická vzdálenost od počátku také úměrná N^(1/2)?

Kdo si myslí, že ano? A kdo si myslí, že ne?

Pokud to není N^(1/2), co by to tedy mohlo být? Možná N^(1) (tedy lineární vzdálenost)? To by znamenalo, že jdeme prakticky jedním směrem, což dává smysl, protože se chceme vyhnout své vlastní cestě.

Nebo to může být něco mezi N^(1/2) a N^(1)? Co třeba N^(3/4)?

Správná odpověď je skutečně N^(3/4)! Tuto předpověď učinil Paul Flory v 50. letech a později za to získal Nobelovu cenu za chemii.

Počítání sebevyhýbavých cest

Další otázka, kterou si můžeme položit: Kolik takových sebevyhýbavých cest dané délky existuje?

Pojďme to počítat společně:

• Pro délku 1 (jeden monomer) existuje přesně 1 cesta
• Pro délku 2 (dva monomery spojené jednou hranou) existují 4 cesty - můžeme jít nahoru, doprava, doleva nebo dolů
• Pro délku 3 (tři monomery spojené dvěma hranami) existuje 12 cest - v prvním kroku máme 4 možnosti a v druhém 3 možnosti (nemůžeme se vrátit)
• Pro délku 4 existuje 36 cest
• Pro délku 5 existuje 100 cest (ne 108, jak by se mohlo zdát, protože musíme odečíst případy, kdy by cesta navštívila stejný bod dvakrát)
• Pro délku 6 existuje 284 cest

Při delších cestách začíná být počítání velmi složité. Pro cestu délky 72 známe přesné číslo (je to obrovské číslo o 54 číslicích), ale C73 už neznáme, protože výpočet je příliš složitý.

Co je zajímavé - když se podíváme na poměr počtu cest délky n+1 k počtu cest délky n, dostaneme míru růstu přibližně 2,638. Počet cest tedy roste přibližně jako 2,638^n.

Sebevyhýbavé cesty na jiných mřížkách

Stejnou hru můžeme hrát i na jiných mřížkách, například na hexagonální (šestiúhelníkové):

• C1 = 1
• C2 = 3 (máme tři sousedy)
• C3 = 6 (3 první kroky, 2 druhé kroky)
• C4 = 12
• C5 = 24
• C6 = 48
• C7 = 90 (ne 96, protože musíme odstranit cesty tvořící smyčky)

Pro cestu délky 106 dostaneme opět obrovské číslo, ale míra růstu je v tomto případě jiná - přibližně 1,84, což lze vyjádřit jako √2 + √2. Tuto hodnotu předpověděl fyzik Nienhuis v roce 1982 a v roce 2012 jsme ji s mým supervizorem Stanislavem Smirnovem dokázali.

Za hranicemi počítání: Fraktály a symetrie

Co je fascinující - když se podíváme na přesnější aproximace počtu cest, zjistíme, že před hodnotou 2,638 je u čtvercové mřížky korekční faktor N^(11/32). A přestože míra růstu u hexagonální mřížky je zcela jiná (√2 + √2 ≈ 1,84), korekční faktor je stejný: N^(11/32).

To je pozoruhodné! Přestože základní exponenciální růst je naprosto odlišný, korekční faktor je stejný. To nám napovídá, že existuje nějaká struktura nezávislá na typu mřížky.

Jako matematici se snažíme tuto skrytou strukturu objevit. Způsob, jak to udělat, je pokusit se, aby mřížka “zmizela” - podíváme se na mřížku s menšími a menšími dílky a odpovídajícím způsobem zvětšíme délku cesty.

Když to děláme, opustíme svět počítání a vstoupíme do světa fraktálů. V limitě, když mřížka téměř zmizí, objeví se něco mnohem bohatšího a krásnějšího než původní cesty - objeví se fraktál.

Co je fraktál?

Fraktál je soběpodobná struktura - když ji přiblížíte, vidíte stále stejné vzory. Typickým příkladem je Van Kochova sněhová vločka, kde opakovaně přidáváte trojúhelník doprostřed každé hrany. Pokud tento proces opakujete do nekonečna a začnete přibližovat kteroukoliv část, uvidíte stále stejný opakující se vzor.

Jiným známým příkladem je Mandelbrotova množina. Čím více ji přibližujete, tím více objevujete opakující se vzory. Mimochodem, na internetu najdete i čtyřhodinová videa přibližování Mandelbrotovy množiny s psychedelickou hudbou.

Dimenze fraktálů

Co je na fraktálech tak speciálního? Proč je matematici milují? Protože fraktály jsou symetrické. Ve fraktálech je spousta symetrie a věda obecně (nejen matematika) je v jistém smyslu umění nacházet struktury a symetrie v přírodě. Čím symetričtější objekt, tím jednodušší je ho studovat.

U fraktálů můžeme měřit jejich dimenzi, která nemusí být celé číslo. Dimenze může být 3/2, 2/3, 3/4 nebo jakékoliv jiné číslo.

Dimenze je spojena s tím, kolik “kostiček” určité velikosti potřebujeme k pokrytí objektu:

• Pro úsečku (1D objekt) délky 1 metr potřebujeme 100 kostiček o velikosti 1 cm, 1000 kostiček o velikosti 1 mm atd. - potřebujeme N kostiček velikosti 1/N
• Pro čtverec (2D objekt) o straně 1 metr potřebujeme 10 000 čtverečků o velikosti 1 cm, 1 000 000 čtverečků o velikosti 1 mm atd. - potřebujeme N^2 kostiček velikosti 1/N
• Pro krychli (3D objekt) bychom potřebovali N^3 kostiček

Pokud tento postup aplikujeme na Van Kochovu sněhovou vločku, dostaneme dimenzi log(4)/log(3).

A pro limitní fraktál ze sebevyhýbavých cest? Jeho dimenze je 4/3, což souvisí s exponentem 3/4, který jsme viděli dříve.

Závěr: Matematika je umění symetrií

Mnohem více než počítání je to, co sjednocuje matematiku, hledání symetrií a struktur v objektech. Za hranicí počítání nemůžete všechno pochopit pouhým počítáním. Je to jako nápověda, jako když začnete nakukovat oknem. A na druhé straně je svět matematiky se všemi svými symetriemi a spojeními mezi různými objekty.

Počítání je způsob, jak se dostat k pochopení toho, co by mohly být skryté struktury. A pak jdete po těchto skrytých strukturách.

Jedním z nástrojů, který se používá prakticky ve všech oblastech matematiky, je hledání symetrií. Matematika je umění symetrií. A čím symetričtější objekt, tím jednodušší je ho studovat.

Děkuji vám mnohokrát za pozornost.

Kritické zhodnocení přednášky Hugo Duminil-Copina

Text je přednáškou Hugo Duminil-Copina, významného francouzského matematika, který v roce 2022 obdržel prestižní Fieldsovu medaili (často označovanou jako “Nobelova cena” za matematiku). Jeho specializací je pravděpodobnost a statistická fyzika, přesně oblasti, o kterých v této populárně-naučné přednášce hovoří.

Silné stránky přednášky

1. Přístupné vysvětlení složitých konceptů: Duminil-Copin velmi efektivně vysvětluje komplexní matematické koncepty jako sebevyhýbavé cesty a fraktály způsobem, který je srozumitelný i pro laiky. Používá intuitivní analogie (např. dlaždice v kuchyni pro mřížku).

2. Historický kontext: Přednášející správně cituje významné matematiky a fyziky (Paul Flory, Bernard Nienhuis, Benoit Mandelbrot, William Thurston), což přidává přednášce historický rozměr a ukazuje vývoj myšlenek v této oblasti.

3. Propojení s reálnými aplikacemi: Sebevyhýbavé cesty nejsou jen abstraktní matematickou kuriozitou - mají přímou souvislost s modelováním polymerů, což má praktické aplikace v materiálové vědě a biochemii.

4. Korektní vědecký obsah: Údaje, které prezentuje (např. exponent 3/4 pro typickou vzdálenost sebevyhýbavé cesty, nebo růstové konstanty ~2,638 pro čtvercovou mřížku a √2+√2 ≈ 1,84 pro hexagonální mřížku), jsou v souladu s aktuálními vědeckými poznatky.

Potenciálně problematické aspekty

1. Zjednodušení vrozeného chápání čísel: Když Duminil-Copin tvrdí, že “tříleté dítě má v podstatě pojem čísla jen do tří”, trochu zjednodušuje aktuální výzkum. Novější studie kognitivní psychologie naznačují, že i mladší děti mohou mít intuitivní chápání větších množství a základní pojem přibližného počtu. Výzkumy Liz Spelkeové a Susan Careyové z Harvardu ukázaly, že i velmi malé děti mají dvě oddělené kognitivní systémy pro zacházení s čísly - jeden pro malá přesná čísla (1-3) a druhý pro přibližné porovnávání větších množství.

2. Dichotomie mezi “mírnou” a “divokou” náhodností: Toto rozdělení je užitečné jako pedagogický nástroj, ale moderní studie komplexních systémů ukazují, že hranice mezi těmito kategoriemi je často méně zřetelná a existuje kontinuum různých typů náhodnosti s různými statistickými vlastnostmi.

3. Omezení modelů sebevyhýbavých cest: Přestože sebevyhýbavé cesty jsou užitečným modelem pro polymery, reálné makromolekuly mají další vlastnosti, které tento jednoduchý model nezachycuje - například ohebnost, torzní úhly či elektrostatické interakce. Nedávné práce v biofyzice používají sofistikovanější modely, které tyto faktory zohledňují.

4. Opomenutí kvantové mechaniky: Při diskusi o modelování na molekulární úrovni by bylo vhodné zmínit, že na velmi malých škálách začínají hrát roli kvantové efekty, které klasické modely nedokážou zachytit.

Aktuální souvislosti s novějším výzkumem

1. Pokrok v důkazech: Duminil-Copin zmiňuje, že s kolegou Stanislavem Smirnovem dokázali v roce 2012 hodnotu konektivní konstanty pro hexagonální mřížku. V poslední dekádě došlo k dalším významným průlomům v této oblasti, včetně důkazů týkajících se konformních invariancí limitních objektů sebevyhýbavých cest, na nichž se Duminil-Copin také podílel.

2. Aplikace v kvantových počítačích: V přednášce chybí zmínka o tom, že modely podobné sebevyhýbavým cestám se nyní používají i při modelování kvantových výpočtů a kvantové informace.

3. Rozšíření do vyšších dimenzí: Zatímco přednáška se zaměřuje na dvourozměrné mřížky, výzkum se posunul i k analýze sebevyhýbavých cest ve vyšších dimenzích, což přináší nové matematické výzvy a aplikace.

4. Souvislost s teorií strun: Některé modely z teorie strun mají překvapivé souvislosti s modely sebevyhýbavých cest, což je oblast aktivního výzkumu na pomezí teoretické fyziky a matematiky.

Závěr

Přednáška Hugo Duminil-Copina poskytuje vynikající úvod do fascinujícího světa matematické pravděpodobnosti, sebevyhýbavých cest a fraktálů. Jeho hlavní sdělení - že matematika je mnohem více o hledání struktur a symetrií než o pouhém počítání - je zcela v souladu s moderním pohledem na matematiku jako disciplínu.

Ačkoli několik oblastí by mohlo být diskutováno podrobněji nebo s většími nuancemi, je třeba vzít v úvahu, že jde o populárně-naučnou přednášku s omezeným časem, nikoliv o odbornou publikaci. V tomto kontextu Duminil-Copin úspěšně balancuje mezi přesností a srozumitelností, což je pro tento formát klíčové.

Vzhledem k tomu, že obdržel Fieldsovu medaili v roce 2022 za práci v oblastech, o kterých přednáší, můžeme jeho odbornost v této oblasti považovat za zcela nezpochybnitelnou.

Odkaz na originální video